叶卢庆的博客

角平分线相等的三角形是等腰三角形

在此,我们证明如下命题.


命题:如图三角形$ABC$.角A的角平分线$AE$与角B的角平分线$BF$长度相等.则$\angle A=\angle B$.


证明:设$\angle CAE=\angle EAB=\alpha$,$\angle CBF=\angle FBA=\beta$.则由正弦定理,
$$
\frac{|AO|}{\sin\beta}=\frac{|AB|}{\sin(\alpha+\beta)},
$$
得到
\begin{equation}
\label{eq:1}
|AO|=|AB| \frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.
\end{equation}
同理可得
\begin{equation}
\label{eq:2}
|BO|=|AB| \frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.
\end{equation}
又由正弦定理,
$$
\frac{|FO|}{\sin\alpha}=\frac{|AO|}{\sin (2\alpha+\beta)}=|AB|\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)\sin(2\alpha+\beta)},
$$
得到
\begin{equation}
\label{eq:3}
|FO|=|AB| \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)\sin(2\alpha+\beta)}.
\end{equation}
同理可得
\begin{equation}
\label{eq:4}
|EO|=|AB| \frac{\sin\beta\sin\alpha}{\sin(\beta+\alpha)\sin(2\beta+\alpha)}.
\end{equation}
由题目条件,
$$
|FO|+|BO|=|EO|+|AO|,
$$
由式\eqref{eq:1},\eqref{eq:2},\eqref{eq:3},\eqref{eq:4},即
\begin{equation}
\label{eq:5}
\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)\sin(2\alpha+\beta)}+\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\beta\sin\alpha}{\sin(\beta+\alpha)\sin(2\beta+\alpha)}+\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.
\end{equation}
式\eqref{eq:5}经过简单的变形可得
\begin{equation}
\label{eq:6}
\frac{1}{\sin(2\alpha+\beta)}-\frac{1}{\sin(2\beta+\alpha)}=\frac{1}{\sin\alpha}-\frac{1}{\sin\beta}.
\end{equation}
令$f(x)=\frac{1}{\sin x}$,则$f’(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x}$.易得$\alpha,\beta,2\alpha+\beta,2\beta+\alpha\in (0,\pi)$且$f’(x)$在$(0,\pi)$内是单调递增的函数.且由微积分第一基本定理可得\eqref{eq:6}等价于
\begin{equation}
\label{eq:7}
\int_{2\beta+\alpha}^{2\alpha+\beta}f’(x)dx=\int_{\beta}^{\alpha}f’(x)dx.
\end{equation}
由于$(2\alpha+\beta)-(2\beta+\alpha)=\alpha-\beta$,即等式\eqref{eq:7}两边的定积分的积分上限和积分下限的差相等,再加上$f’(x)$在$(0,\pi)$内的单调性,因此为了使得\eqref{eq:7}成立,只能是等号\eqref{eq:7}两边的定积分的积分上限等于积分下限,即$\alpha=\beta$,此时
$$
\int_{2\beta+\alpha}^{2\alpha+\beta}f’(x)dx=\int_{\beta}^{\alpha}f’(x)dx=0.
$$
这样我们就证明了$\alpha=\beta$.于是$\angle A=\angle B$.