叶卢庆的博客

1990年全国高中数学联赛一个计数问题

下面我们来做1990年全国高中数学联赛一试填空题第6题.

题目: 8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站两个男孩,那么共有几种不同的排列方法?


解: 每个女的,选两个男的,分别排自己两边,形成一个三人集团.第一个女的,选两个男的,把他们排在自己的两边,有$25\times 24$种方法.第二个女的,选两个男的,把他们排自己两边,有$23\times 22$种方法.……第8个女的,选两个男的,把它们排自己两边,有$11\times 10$种方法.把它们乘起来,得到$25\times24\times\cdots\times 10$.然后将8个三人集团进行圆排列,得到$\frac{8!}{8}=7!$,于是$25\times24\times\cdots\times 10\times 7!$.再将剩下的9个男孩随意地安插进排好的男人里(而不是安插在男女之间,否则会有重复计数),有$8\times 9\times \cdots\times 16$种方法.于是总共有$$25\times 24\times\cdots\times10\times 7!\times 8\times 9\times\cdots\times 16=\frac{25!\times 16!}{9!}$$种排列方法.