叶卢庆的博客

2005年上海市高中数学竞赛最后一题

下面我们来解答2005年上海市高中数学竞赛(CASIO杯)最后一题.


题目:数列$\{f_n\}$的通项公式为$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$,$n\in\mathbf{Z}^{+}$.记$$S_n={n\choose 1}f_1+{n\choose 2}f_2+\cdots+{n\choose n}f_n.$$求所有的正整数$n$,使得$S_n$能被$8$整除.


解:易知$\{f_n\}$是Fibonacci数列$f_1,f_2,\cdots,f_n,\cdots$:
$$
1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots
$$
其中$\forall n\geq 1$,$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$.
图1
且由图1易得$S_n=f_{2n}$(图1是一个差分图,下一行的数字是上一行两个数字的差.绘制原理见博文高阶等差数列的通项公式高阶等差数列的通项公式与杨辉三角).而且,
$$
\begin{cases}
\star f_6=8,\\
f_7=8+5,\\
f_8=f_{3}\times 8+f_{2}\times 5,\\
f_9=f_{4}\times 8+f_{3}\times 5,\\
f_{10}=f_{5}\times 8+f_{4}\times 5,\\
f_{11}=f_{6}\times 8+f_{5}\times 5,\\
\star f_{12}=f_{7}\times 8+f_{6}\times 5,\\
f_{13}=f_{8}\times 8+f_{7}\times 5,\\
\vdots\\
\end{cases}
$$
可见,当且仅当$6|n$时,$8|f_n$.于是当且仅当$3|n$时,$8|S_n$.