叶卢庆的博客

一个多项式型数列的求和

下面我们来解如下这个求和题目,来自叶立军《初等数学研究》例4.3.2.所依据的原理来自文章 高阶等差数列的通项公式以及高阶等差数列的通项公式与杨辉三角

题目:求和
$$
\sum_{i=1}^ni(i+2)(i+1)^2.
$$


:数列$\{a_i\}$的通项公式为$a_i=i(i+2)(i+1)^2$.此题即求$\{a_i\}$的前$n$项和.由于$i(i+2)(i+1)^2$是四次多项式,因此$\{a_i\}$是四阶等差数列.$\{a_i\}$的前$n$项和形成的数列$\{S_n\}$自然是五阶等差数列.因此
\begin{align*}
S_n&={n-1\choose 0}S_1+{n-1\choose 1}a_2+{n-1\choose
2}a_{1,2}+{n-1\choose 3}a_{2,2}+{n-1\choose 4}a_{3,2}+{n-1\choose
5}a_{4,2}
\\&=12+72(n-1)+84(n-1)(n-2)+32(n-1)(n-2)(n-3)+\frac{9}{2}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
\\&-\frac{7}{15}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
\\&=-\frac{7}{15}n^5+\frac{23}{2}n^4-\frac{158}{3}n^3+\frac{309}{2} n^2-\frac{2713}{15} n+80.
\end{align*}