叶卢庆的博客

高阶等差数列的通项公式与杨辉三角

在文章高阶等差数列的通项公式里,我们推导出了高阶等差数列的通项公式.现在我们继承那篇文章里的符号.对于$r$阶等差数列${a_n}$来说,有
\begin{equation}\label{eq:1}
a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}a_{1,1}+{n-1\choose 2}a_{2,1}+\cdots+{n-1\choose r}a_{r,1},
\end{equation}
其中$a_{r,1}$乃$r$阶差分.下面,我们将式\eqref{eq:1}与杨辉三角联系起来.为了说明这种联系,我们只用举一个有代表性的特殊例子即可.
图1

如上表格所示.我们来算$a_5$.
\begin{align*}
a_5&=a_4+a_{1,4}
\\&=(a_3+a_{1,3})+(a_{1,3}+a_{2,3})
\\&=a_3+2a_{1,3}+a_{2,3}
\\&=(a_2+a_{1,2})+2(a_{1,2}+a_{2,2})+(a_{2,2}+a_{3,2})
\\&=a_2+3a_{1,2}+3a_{2,2}+a_{3,2}
\\&=(a_1+a_{1,1})+3(a_{1,1}+a_{2,1})+3(a_{2,1}+a_{3,1})+(a_{3,1}+a_{4,1})
\\&=a_1+4a_{1,1}+6a_{2,1}+4a_{3,1}+a_{4,1}.
\end{align*}
从中我们发现了杨辉三角的结构.