叶卢庆的博客

幂零自同态的结构

设 $V^n$ 是数域 $\mathbf{F}$ 上的$n(n\geq 1)$维线性空间.$T:V^n\to V^n$是线性变换.且存在正整数$p$,使得$T^p$是零映射$\mathbf{0}$.称满足该条件的$T$是幂零线性变换.我们不妨让正整数$p$尽量小.下面我们来研究幂零线性变换的结构.

首先,$T$必定不是单射.否则若$T$是单射,则$T$必然也是双射(考虑$V^{n}$的基即可).这样子,对于任意正整数$p$,$T^{p}$都是双射,则$T^p(V^{n})=V^{n}$,这与$T$是幂零映射矛盾.

设$\dim \ker T=k_{1}$,其中$n\geq k_{1}\geq 1$(当$k_{1}=n$时,$T$本身即为零映射,此时无需再探讨下去).因此存在$V^n$的一组基$\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_{1}},\mathbf{v}_{k_{1}+1},\cdots,\mathbf{v}_n\}$,使得$T(\mathbf{v}_1)=\mathbf{0}$,$\cdots$,$T(\mathbf{v}_{k_{1}})=\mathbf{0}$,且$T(\mathbf{v}_{k_{1}+1}),\cdots,T(\mathbf{v}_n)$线性无关,是$T(V^n)$的一组基.

必定存在$T(V^n)$的一组基,使得至少存在一个$1\leq i_{1}\leq k_{1}$,$\mathbf{v}_i$是基里的向量.否则,易得$\forall p\in\mathbf{N}^{+}$,$T^{p}(T(V^{n}))=T(V^n)$,这与$T$是幂零映射矛盾.于是,不妨设$T(V^n)$的一组基为$\{\mathbf{v}_1^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_{n-k_{1}}^{(1)}\}$,且$\mathbf{v}_1^{(1)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_{1}}\}$,$\cdots$,$\mathbf{v}_{k_2}^{(1)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_{1}}\}$,其中$1\leq k_2\leq n-k_1$且$k_2$尽量大.

易得$T^2(V^n)$的一组基是$\{T(\mathbf{v}_{k_2+1}^{(1)}),\cdots,T(\mathbf{v}_{n-k_1}^{(1)})\}$(当然当$k_2=n-k_1$时,$k_2+1$无意义,此时不再讨论下去).将$T^2(V^n)$进行与$T(V^n)$同样的处理.即必定存在$T^2(V^n)$的一组基,使得至少存在一个$1\leq i_2\leq k_1$,使得$\mathbf{v}_{i_2}$是基里的向量.于是,不妨设$T^2(V^n)$的一组基为$\{\mathbf{v}_1^{(2)},\cdots,\mathbf{v}_{n-k_1}^{(2)}\}$,且$\mathbf{v}_1^{(2)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_1}\}$,$\cdots$,$\mathbf{v}_{k_3}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_1}\}$,其中$1\leq k_3\leq n-k_1-k_2$且$k_3$尽量大.

易得$T^3(V^n)$的一组基为$\{T(\mathbf{v}_{k_3+1}^{(2)}),\cdots,T(\mathbf{v}_{n-k_1-k_2}^{(2)})\}$(当然当$k_3=n-k_1-k_2$时,$k_3+1$无意义,此时不再讨论下去).将$T^3(V^n)$进行与$T^2(V^n)$类似的处理.即至少存在一个$1\leq i_3\leq k_1$,使得$\mathbf{v}_{i_3}$是基里的向量.于是,不妨设$T^3(V^n)$的一组基为$\{\mathbf{v}_1^{(3)},\cdots,\mathbf{v}_{n-k_1-k_2}^{(3)}\}$,且$\mathbf{v}_1^{(3)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_1}\}$,$\cdots$,$\mathbf{v}_{k_4}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k_1}\}$.其中$1\leq k_4\leq n-k_1-k_2-k_3$且$k_4$尽量大.

这样不断地进行下去,由于$T$是幂零的,因此$T^{p-1}(V^n)$的一组基为$\{T(\mathbf{v}_{k_{p-1}+1}^{(p-2)}),\cdots,T(\mathbf{v}_{n-k_1-\cdots-k_{p-2}}^{(p-2)})\}:=\{\mathbf{v}_1^{(p-1)},\cdots,\mathbf{v}_{n-k_1-\cdots-k_{p-1}}^{(p-1)}\}$,且$\mathbf{v}_{1}^{(p-1)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k\}$,$\cdots$,$\mathbf{v}_{n-k_1-\cdots-k_{p-1}}^{(p-1)}\in\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k\}$.

由上面的分析可见,对于向量$\mathbf{v}_1^{(p-1)}$来说,必定存在与$\mathbf{v}_1^{(p-1)}$不共线的向量$\mathbf{w}_1$,使得$T(\mathbf{w}_1)=\mathbf{v}_1^{(p-1)}$.对于$\mathbf{w}_1$来说,必定存在$\mathbf{w}_2\not\in \hbox{span}(\mathbf{v}_1^{(p-1)},\mathbf{w}_1)$,使得$T(\mathbf{w}_2)=\mathbf{w}_1$.对于$\mathbf{w}_2$来说,必定存在$\mathbf{w}_3\not\in\hbox{span}(\mathbf{v}_1^{(p-1)},\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2)$,使得$T(\mathbf{w}_3)=\mathbf{w}_2$……就这样一直进行下去,直到进行至$\mathbf{w}_{n-k_1-1}$.对于$\mathbf{w}_{n-k_1-1}$来说,必定存在向量$\mathbf{w}_{n-k_1}\not \in\hbox{span}(\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_{n-k_1-1})$,使得$T(\mathbf{w}_{n-k_1})=\mathbf{w}_{n-k_1-1}$.

然后我们来看$V^n$的一组有序基$\alpha=(\mathbf{v}_2^{(p-1)},\cdots,\mathbf{v}_{n-k_1-\cdots-k_{p-1}}^{(p-1)},\mathbf{v}_1^{(p-1)},\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_{n-k_1})$.易得在该基下线性变换$T$的矩阵$[T]_{\alpha}^{\alpha}$是对角线上元素都为$0$的Jordan块.这样我们就给出了幂零线性变换$T$的结构.