叶卢庆的博客

幂零自同态分解定理

在此,我们叙述并证明下述定理.该定理在Jordan标准型理论中发挥了重要作用.

幂零自同态分解定理:设$T$是复数域$\mathbf{C}$上的$n$维线性空间$V^n$的一个线性变换(自同态).令$$p_T(x)=(\lambda_1-x)^{r_1}\cdots (\lambda_q-x)^{r_q},$$其中$\lambda_1,\cdots,\lambda_q\in \mathbf{C}$是$p_T$的所有不同的根,而$r_1,\cdots,r_q$是它们的重数.$\forall 1\leq i\leq q$,令$$E_i=\ker [(T-\lambda_iI)^{r_i}],$$那么$V^n$是子空间$E_1,\cdots,E_q$的直和,且有$\forall 1\leq i\leq q$,$\dim(E_i)=r_i.$


证明:恰当地选取$\mathbf{C}^n$中的一组有序基$\alpha=(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{n})$,使得线性变换$T$在这组基下的矩阵是上三角矩阵$[T]_{\alpha}^{\alpha}$.且$$[T]_{\alpha}^{\alpha}=\begin{pmatrix}\lambda_1&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times\\0&\ddots&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times\\0&0&\lambda_{1}&\times&\times&\times&\times&\times&\times&\times\\0&0&0&\lambda_{2}&\times&\times&\times&\times&\times&\times\\0&0&0&0&\ddots&\times&\times&\times&\times&\times\\0&0&0&0&0&\lambda_{2}&\times&\times&\times&\times\\0&0&0&0&0&0&\ddots&\times&\times&\times\\0&0&0&0&0&0&0&\lambda_{q}&\times&\times\\0&0&0&0&0&0&0&0&\ddots&\times\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&\lambda_{q},\end{pmatrix}$$易得对角线上$\lambda_i$有$r_i$个.将基$\alpha$重新记为$(\mathbf{v}_{1,1},\cdots,\mathbf{v}_{1,r_1},\cdots,\mathbf{v}_{q,1},\cdots,\mathbf{v}_{q,r_q})$.可得$$\begin{cases}(T-\lambda_{1}I)(\mathbf{v}_{1,r_1})\in span(\mathbf{v}_{1,1},\cdots,\mathbf{v}_{1,r_1-1}),\\ (T-\lambda_{1}I)^{2}(\mathbf{v}_{1,r_1})\in span(\mathbf{v}_{1,1},\cdots,\mathbf{v}_{1,r_1-2}),\\ \vdots\\ (T-\lambda_{1}I)^{k}(\mathbf{v}_{1,r_1})\in span(\mathbf{v}_{1,1},\cdots,\mathbf{v}_{1,r_1-k}),\\ \vdots\\ (T-\lambda_{1}I)^{r_1-1}(\mathbf{v}_{1,r_1})\in span (\mathbf{v}_{1,1}),\\ (T-\lambda_{1}I)^{r_{1}}(\mathbf{v}_{1,r_1})\in span(\mathbf{0}).\\ \end{cases}$$因此可得$(T-\lambda_{1}I)^{r_{1}}(\mathbf{v}_{1,r_1})=\mathbf{0}$.基于类似的理由,$\forall 1\leq i\leq r_1$,$(T-\lambda_{1}I)^{r_{1}}(\mathbf{v}_{1,i})=\mathbf{0}$.再加上$\{\mathbf{v}_{1,1},\cdots,\mathbf{v}_{1,r_1}\}$是线性无关的,因此$\dim E_1\geq r_1$.而且,由于$p_T(x)$中$(\lambda_1-x)$的次数是$r_1$,因此$\dim E_1$不会超过$r_1$.可见,$\dim E_1=r_1$.

由于$E_1,E_2,\cdots,E_q$的地位相同,因此可得$\dim E_2=r_2,\cdots,\dim E_q=r_q$.最后,我们来证明\begin{equation}\label{eq:1}V^n=E_1\oplus\cdots\oplus E_q\end{equation}为此我们先证明$$\forall i\neq j,E_i\cap E_j=\{0\}.$$

证明:只用证明,当$m,n\in \mathbf{N}^+$,且$\lambda_i\neq \lambda_j$时,$\ker (A-\lambda_iI)^m \cap \ker (A-\lambda_jI)^n=\{0\}$.当$m=1$时,$\ker (A-\lambda_iI) \cap \ker (A-\lambda_jI)^n=\{0\}$,否则存在非零向量$\mathbf{v}$,使得$(A-\lambda_iI)(\mathbf{v})=\mathbf{0}$,且$\mathbf{0}=(A-\lambda_jI)^n(\mathbf{v})=(\lambda_i-\lambda_j)^n\mathbf{v}$,矛盾.可见我们已经证明了$m=1$的情形.接下来证明一般情形.假设存在非零向量$\mathbf{v}$,以及最小的正整数$m$和$n$,使得$\ker (A-\lambda_iI)^m \cap \ker (A-\lambda_jI)^n=\{\mathbf{v}\}$,且$n\geq m$.则有$$(A-\lambda_iI)(A-\lambda_iI)^{m-1}(\mathbf{v})=\mathbf{0},(A-\lambda_jI)^{n-m+1}(A-\lambda_jI)^{m-1}(\mathbf{v})=\mathbf{0},$$则由$m=1$的情形,可得$(A-\lambda_iI)^{m-1}(\mathbf{v})=\mathbf{0}$.这与$m$的最小性矛盾.这样我们就证明了一般情形.$\Box$

假设$$V^n\supsetneq E_1\oplus\cdots\oplus E_q,$$则可得$n=\dim V^n>r_1+\cdots+r_q=n$,矛盾.因此\eqref{eq:1}成立.