叶卢庆的博客

复数域上的方阵必相似于上三角阵

在此,我们证明如下定理:

定理:复数域上的任意一个$n(n\geq 1)$阶方阵必定相似于一个上三角矩阵.

为了证明该命题,我们只用证明,

定理:存在复线性空间$\mathbf{C}^n$的一组基$(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n)$,使得$\forall k=1,\cdots,n$,$T_{n}(\mathbf{v}_k)\in \hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n)$.其中$T_{n}:\mathbf{C}^n\to \mathbf{C}^n$是任一线性变换,$\hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n)$是由向量$\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n$张成的线性空间.此时,我们称线性$T_n$是可上三角化的.

证明:我们归纳地说明这个事实.首先,当$n=1$时命题显然成立.设当$n=k(k\geq 1)$时命题仍然成立.则当$n=k+1$时,根据代数基本定理,线性映射$T_{k+1}$必然有一特征值$\lambda_{k+1}$和特征向量$\mathbf{v}_{k+1}$,使得\begin{equation}\label{eq:1}T_{k+1}(\mathbf{v}_{k+1})=\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}.\end{equation}设$\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k,\mathbf{v}_{k+1}\}$是$\mathbf{C}^n$的一组基.$\forall T(\mathbf{v})\in \hbox{span}(T_{k+1}(\mathbf{v}_1),\cdots,T_{k+1}(\mathbf{v}_k))$,其中$\mathbf{v}\in \hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k)$,有唯一的$a_1,\cdots,a_{k+1}\in \mathbf{C}$,使得
\begin{equation}\label{eq:2}
T_{k+1}(\mathbf{v})=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n+a_{n+1}\mathbf{v}_{k+1}
\end{equation}
这样就建立了一个从$\hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k)$到$\hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k)$的线性映射
\begin{equation}\label{eq:3}
G:\mathbf{v}\to a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_k.
\end{equation}
根据归纳假设,线性映射$G$是可上三角化的,即存在$\hbox{span}(\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k)$的一组基$\{\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_k\}$,使得
$$
\begin{cases}
G(\mathbf{w}_1)\in\hbox{span}(\mathbf{w}_1),\\
G(\mathbf{w}_2)\in\hbox{span}(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2),\\
\vdots\\
G(\mathbf{w}_k)\in\hbox{span}(\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_k).
\end{cases}
$$
于是,结合式\eqref{eq:2}和式\eqref{eq:3},可得
$$
\begin{cases}
T_{k+1}(\mathbf{w}_1)\in\hbox{span}(\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{w}_1),\\
T_{k+1}(\mathbf{w}_2)\in\hbox{span}(\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2),\\
\vdots\\
T_{k+1}(\mathbf{w}_k)\in\hbox{span}(\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_k).
\end{cases}
$$
再加上\eqref{eq:1},因此,在基$(\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_k)$下,线性映射$T_{k+1}$是呈现上三角化形式的.这样,根据数学归纳法,我们已经对一切正整数$n$证明了这个命题.