叶卢庆的博客

高阶等差数列的通项公式

定义

定义常数列为$0$阶等差数列.然后我们来看数列
\begin{equation}\label{eq:1}
a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots
\end{equation}
$\forall i\in \mathbf{N}^+$,定义$a_{1,i}=a_{i+1}-a_i$.数列
$$
a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{1,m},\cdots
$$
称为数列\eqref{eq:1}的一阶差分数列.定义$a_{2,i}=a_{1,i+1}-a_{1,i}$.数列
$$
a_{2,1},a_{2,2},\cdots,a_{2,m},\cdots
$$
称为数列\eqref{eq:1}的二阶差分数列.定义$a_{3,i}=a_{2,i+1}-a_{2,i}$.数列
$$
a_{3,1},a_{3,2},\cdots,a_{3,m},\cdots
$$
称为数列\eqref{eq:1}的三阶差分数列.类似地,定义
$$
a_{r,1},a_{r,2},\cdots,a_{r,m},\cdots
$$
为数列\eqref{eq:1}的$r$阶差分数列.如果一个数列的$r$阶差分数列是非零常数列,则称该数列为$r$阶等差数列.

下面我们来推导$r$阶等差数列
$$
a_1,\cdots,a_n,\cdots
$$
的通项公式.

###一阶等差数列的通项公式
一阶等差数列的通项公式为
$$
a_n=a_1+(n-1)d,
$$
$d$为一阶差分.

###二阶等差数列的通项公式
对于二阶等差数列来说,
$$
a_{1,i}=a_{1,1}+(i-1)d,
$$
其中$d$为二阶差分.因此,
\begin{align*}
a_n&=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}a_{1,i}\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+d\sum_{i=1}^{n-1}(i-1)
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}d.
\end{align*}

###三阶等差数列的通项公式
对于三阶等差数列来说,
$$
a_{1,i}=a_{1,1}+(i-1)a_{2,1}+\frac{(i-1)(i-2)}{2}d,
$$
其中$d$为三阶差分.因此
\begin{align*}
a_n&=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}a_{1,i}
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}+\frac{d}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(i-1)(i-2)
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}+\frac{d}{6}\sum_{i=1}^{n-1}\left[(i)(i-1)(i-2)-(i-1)(i-2)(i-3)\right]
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d
\end{align*}

###四阶等差数列的通项公式
对于四阶等差数列来说,
$$
a_{1,i}=a_{1,1}+(n-1)a_{2,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{3,1}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d,
$$
其中$d$是四阶差分.因此,
\begin{align*}
a_n&=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}a_{1,i}
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}\\&+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}a_{3,1}+\frac{d}{24}\sum_{i=1}^{n-1}\left[i(i-1)(i-2)(i-3)-(i-1)(i-2)(i-3)(i-4)\right]
\\&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}a_{3,1}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}d.
\end{align*}

###$r$阶等差数列的通项公式
我们已经通过观察特殊情况而洞悉了递推规律.对于一般的$r$阶等差数列来说,易得
\begin{align*}
a_n&=a_1+(n-1)a_{1,1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}a_{2,1}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}a_{3,1}+\cdots\\&+\frac{(n-1)(n-2)\cdots
(n-k)}{k!}a_{k,1}+\cdots+\frac{(n-1)(n-2)\cdots
(n-r)}{r!}d,
\end{align*}
其中$d$是$r$阶差分.其实$d$可以用$a_{r,1}$代替.

注:容易发现$r$阶等差数列通向公式与Newton插值多项式的关系.

###关于项数的$r$次多项式必是某个$r$阶等差数列的通项公式
我们已经推出了高阶等差数列的通项公式.结果表明,$r$阶等差数列的通项公式是个$r$次多项式.

在此,我们要用数学归纳法表明,关于数列中某个具体项的项数$n$的$r$次多项式必然是某个$r$阶等差数列的通项公式.

首先,$0$次多项式是个常数,它是某个$0$阶等差数列(即常数列)的通项公式.

假设关于$n$的任意$k$次多项式都是某个$k$阶等差数列的通项公式.则对于关于$n$的$k+1$次多项式来说,不妨把该$k+1$次多项式写为
$$
f(n)=b_{k+1}n^{k+1}+b_{k}n^{k}+\cdots+b_1n+b_0.
$$

$$
f(n+1)-f(n)=b_{k+1}[(n+1)^{k+1}-n^{k+1}]+b_k[(n+1)^k-n^k]+\cdots+b_1,
$$
而由二项式展开易得$(n+1)^{k+1}-n^{k+1}$是关于$n$的$k$次多项式.可见,$f(n+1)-f(n)$是关于$n$的$k$次多项式.由归纳假设,$f(n+1)-f(n)$是某个$k$阶等差数列的通项公式.则根据高阶等差数列的定义,可得关于$n$的$k+1$次多项式是$k+1$阶等差数列的通项公式.