叶卢庆的博客

Fibonacci数列的若干性质

这个学期在修斯海霞老师的“初等数学研究”课.作为她的一个作业,在此,我们证明Fibonacci数列的若干性质.这些性质都来自叶立军等人所编《初等数学研究》第4.3节..这些性质都挺无聊的,权当数学归纳法的机械操练算了.

性质1:$F_{n+1}^2-F_n\cdot F_{n+2}=(-1)^n$.


证明:采用归纳法.作为奠基,当$n=1$时,有
$$
F_2^{2}-F_1F_{3}=\begin{vmatrix}
F_2&F_1\\
F_3&F_2
\end{vmatrix}=1^2-2=-1.
$$
可见当$n=1$时命题成立.设当$n=k(k\geq 1,k\in \mathbf{N})$时命题成立,即
$$
\begin{vmatrix}
F_{k+1}&F_k\\
F_{k+2}&F_{k+1}
\end{vmatrix}=(-1)^k,
$$
则当$n=k+1$时,结合行列式的性质,可得
$$
\begin{vmatrix}
F_{k+2}&F_{k+1}\\
F_{k+3}&F_{k+2}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
F_{k+1}+F_k&F_{k+1}\\
F_{k+2}+F_{k+1}&F_{k+2}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
F_k&F_{k+1}\\
F_{k+1}&F_{k+2}
\end{vmatrix}=- \begin{vmatrix}
F_{k+1}&F_k\\
F_{k+2}&F_{k+1}
\end{vmatrix}=(-1)^{k+1}.
$$
于是,由数学归纳法可得对于一切正整数$n$,命题都成立.


性质2:$4F_n < 3F_{n+1} < 6F_n(n\geq 3)$.


证明:也即证明,当$n\geq 3$时,
$$
\frac{1}{2} < \frac{F_n}{F_{n+1}} < \frac{3}{4}.
$$
令$\frac{F_n}{F_{n+1}}=b_n$,则由Fibonacci数列的定义,可得
$$
b_{n+1}=\frac{1}{1+b_n},b_1=1.
$$
显然,$b_3=\frac{F_3}{F_4}=\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2} < \frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.假设当$n=k(k\geq 3)$时,有$\frac{1}{2} < b_k < \frac{3}{4}$,则$n=k+1$时,
$$
b_{k+1}=\frac{1}{1+b_k} < \frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} < \frac{3}{4},
$$

$$
b_{k+1}=\frac{1}{1+b_k} > \frac{1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{4}{7} > \frac{1}{2}.
$$
可见,由数学归纳法,可得对于一切$n\geq 3$,命题成立.实际上,$\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.


性质3:$F_{m+n}=F_{m+1}F_n+F_mF_{n-1}(m,n\in \mathbf{N}^+,n > 1)$.


证明:采用第二数学归纳法.对$n$归纳.当$n=2$时,
$$
F_{m+2}=F_{m+1}+F_{m}=F_{m+1}F_2+F_mF_1.
$$
可见,$n=2$时,命题成立.设$2\leq n\leq k(k\geq 2)$时,命题全都成立,即$\forall
2\leq n\leq k$,
$$
F_{m+k}=F_{m+1}F_k+F_mF_{k-1}.
$$
则$n=k+1$时,
\begin{align*}
F_{m+k+1} & =F_{m+k}+F_{m+k-1}\\& =(F_{m+1}F_k+F_mF_{k-1})+(F_{m+1}F_{k-1}+F_mF_{k-2})\\&=F_{m+1}(F_k+F_{k-1})+F_m(F_{k-1}+F_{k-2})
\\&=F_{m+1}F_{k+1}+F_mF_k.
\end{align*}
可见,由数学归纳法,对于一切$n\geq 2$,命题都成立.


性质4:$F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$.


证明:由性质3,
$$
F_{2n}=F_{n+1}F_n+F_nF_{n-1}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n-1})+(F_{n+1}-F_{n-1})F_{n-1}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2.
$$