叶卢庆的博客

答网友:吴大猷《古典动力学》第一章中的两个问题

最近在读吴大猷所著之《古典动力学》(理论物理第一册),里面的数学比较密集.没有掌握线性代数和微积分,这本书是读不下去的.在豆瓣看到网名为Wizard的网友的两个问题,虽然是两年多前的问题,但还是解答一下.

问题1:第一章1.7节中讨论的沿着运动轴方向的速度分量公式(1-29)是根据什么得来的?他也就是问公式(1-29)中的\begin{equation} \label{eq:1} V’_x=\dot x’\alpha_1+\dot y’\alpha_2+\dot z’\alpha_3\end{equation}
是怎么来的,其中$V’_x$是质点沿着运动轴$X$方向的速度分量在固定坐标系中的坐标.


:$(\dot x’,\dot y’,\dot z’)$是质点对固定坐标系的速度,而$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$是$X$轴在固定坐标系中的方向余弦,因此为了求出质点沿着$X$轴的速度分量在固定坐标系中的坐标,只用将$(\dot x’,\dot y’,\dot z’)$正投影到$X$轴上即可,即只用考虑内积$$(\dot x’,\dot y’,\dot z’)\cdot (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),$$此即$V_x’$.


问题2:第一章1.7节中对于运动坐标轴的单位向量i的微分公式是如何得来的?也即式(1-31)中的$$\frac{d}{dt}\mathbf{i}=-\omega_y\mathbf{k}+\omega_z\mathbf{j}$$是怎么来的?


答:我们直接推导出整个(1-31)式.首先,$\frac{d}{dt}\mathbf{i}$必定与$\mathbf{i}$正交.这是因为由于坐标系$XYZ$是在进行绕$O(O’)$的刚性转动,因此单位向量$\mathbf{i}$的模长始终不变.设经过时间$\Delta t$,单位向量$\mathbf{i}$变成另外一个单位向量$\mathbf{i}+\Delta \mathbf{i}$,则$$(\mathbf{i}+\Delta \mathbf{i})\cdot (\mathbf{i}+\Delta \mathbf{i})=1,$$即$$2\mathbf{i}\cdot \Delta\mathbf{i}+\Delta \mathbf{i}\cdot \Delta\mathbf{i}=0,$$即$$2\mathbf{i}\cdot \frac{\Delta \mathbf{i}}{\Delta t}+\frac{\Delta \mathbf{i}\cdot \Delta \mathbf{i}}{\Delta t}=0.$$令$\Delta t\to 0$,由于$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{i}\cdot \Delta \mathbf{i}}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{d\mathbf{i}}{dt}\cdot \Delta \mathbf{i}=0$,因此可得$$\mathbf{i}\cdot \frac{d\mathbf{i}}{dt}=0.$$这就表明了$\frac{d}{dt}\mathbf{i}$与$\mathbf{i}$正交.又,根据角速度的定义,可得$$\mathbf{\omega}=\mathbf{i}\times \frac{d}{dt}\mathbf{i},$$于是根据向量积的公式$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times\mathbf{c}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a}$,可得$$\frac{d}{dt}\mathbf{i}=\mathbf{\omega}\times \mathbf{i}.$$这样就直接推出了(1-31)式.