叶卢庆的博客

利用D'Alembert的方法解Laplace方程

在文章D’Alembert如何解弦振动方程里,我们利用矩阵对角化的方法解出了弦振动方程.在那篇文章的注里,我们还试图用同样的方法来解Laplace方程,但是失败了.今天睡醒之后我又想了一下,然后成功了.现在我们就用解弦振动方程的方法来解Laplace方程\begin{equation}\label{eq:1}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.\end{equation}之所以想要研究这个方程,是因为这个方程和弦振动方程形式上的相似性,Laplace方程只不过比弦振动方程多了个负号.我们照样假设$u$是二阶连续可微的函数.令$\frac{du}{dx}=p(x,y),\frac{du}{dy}=q(x,y)$,则我们有全微分方程\begin{equation} \label{eq:2}du=pdx+qdy.\end{equation}而且,方程\eqref{eq:1}变成\begin{equation} \label{eq:3} \frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\partial q}{\partial y}=k_1(x,y).\end{equation}设$$\frac{\partial p}{\partial y}=k_2(x,y),$$则我们有全微分方程\begin{equation} \label{eq:4} dp=k_1dx+k_2dy,\end{equation}以及\begin{equation} \label{eq:5} dq=k_2dx-k_1dy.\end{equation}同样,全微分方程\eqref{eq:4}和\eqref{eq:5}之所以共享同一个$k_{2}$,乃是因为混合偏导数的Clairaut定理.将\eqref{eq:4}和\eqref{eq:5}合起来,可得
\begin{equation}
\label{eq:6}
\begin{pmatrix}
dq\\
dp
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
k_2&-k_1\\
k_1&k_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}.
\end{equation}
将矩阵
$$
\begin{pmatrix}
k_2&-k_1\\
k_1&k_2
\end{pmatrix}
$$
对角化,可得
\begin{equation}\label{eq:7}
\begin{pmatrix}
k_2&-k_1\\
k_1&k_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{i}{2}&\frac{1}{2}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
k_2-ik_1&0\\
0&k_2+ik_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{i}{2}&\frac{1}{2}
\end{pmatrix},
\end{equation}
其中$i$是虚数单位.将\eqref{eq:7}代入\eqref{eq:6},可得
\begin{equation}
\label{eq:8}
\begin{pmatrix}
\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{-i}{2}&\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dq\\
dp
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
k_2-ik_1&0\\
0&k_2+ik_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{-i}{2}&\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}.
\end{equation}
不妨去掉\eqref{eq:8}中恼人的$\frac{1}{2}$,则\eqref{eq:8}变成
\begin{equation}
\label{eq:9}
\begin{pmatrix}
i&1\\
-i&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dq\\
dp
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
k_2-ik_1&0\\
0&k_2+ik_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i&1\\
-i&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}.
\end{equation}
令$ix+y=\xi_1,-ix+y=\xi_2,p+iq=P,p-iq=Q$.则$\xi_1$和$\xi_2$是共轭复函数,且$P$和$Q$是共轭复函数.则\eqref{eq:9}变成
\begin{equation}
\label{eq:10}
\begin{cases}
dP=l_1(\xi_1,\xi_2)d\xi_1,\\
dQ=l_2(\xi_1,\xi_2)d\xi_2,
\end{cases}
\end{equation}
其中$l_1$和$l_2$是共轭复函数,且
$$
l_1(\xi_1,\xi_2)=k_2(x,y)-ik_1(x,y)=k_2(\frac{\xi_1-\xi_2}{2i},\frac{\xi_1+\xi_2}{2})-ik_1(\frac{\xi_1-\xi_2}{2i},\frac{\xi_1+\xi_2}{2}),
$$
$$
l_2(\xi_1,\xi_2)=k_2(x,y)+ik_1(x,y)=k_2(\frac{\xi_1-\xi_2}{2i},\frac{\xi_1+\xi_2}{2})+ik_1(\frac{\xi_1-\xi_2}{2i},\frac{\xi_1+\xi_2}{2}).
$$
对\eqref{eq:10}积分可得,
$$
P=\int l_1d\xi_1,Q=\int l_2d\xi_2,
$$
这里涉及到的积分是复积分.于是,
\begin{equation}\label{eq:11} p=\frac{P+Q}{2}=\frac{\int
l_1d\xi_1+\int
l_2d\xi_2}{2}=\frac{f(\xi_{1})+g(\xi_{2})}{2},q=\frac{P-Q}{2i}=\frac{\int
l_1d\xi_1-\int
l_2d\xi_2}{2i}=\frac{f(\xi_{1})-g(\xi_{2})}{2i},\end{equation}
其中$f=\int l_1d\xi_{1},g=\int l_2d\xi_{2}$,且$f$和$g$是共轭复函数.将\eqref{eq:11}代入\eqref{eq:2},可得
\begin{equation}\label{eq:12}
du=\frac{1}{2i}\left[f(\xi_1)d\xi_1-g(\xi_2)d\xi_2\right].
\end{equation}
而且$du$是实函数.对\eqref{eq:12}积分可得
$$
u=F(\xi_1)+G(\xi_2)=F(y+ix)+G(y-ix),
$$
其中$F(\xi)=-\frac{i}{2}\int f(\xi_{1})d\xi_{1}$,$G(\xi)=\frac{i}{2}\int g(\xi_2)d\xi_2$.这样我们就得到了Laplace方程的解,而且由于共轭复函数的存在,保证了$u$始终是实函数.将这个解与波方程的D’Alembert解相比较可能会是有益的.