叶卢庆的博客

D'Alembert如何解弦振动方程

在1747年,D’Alembert发表了他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》(Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration).这篇文章的节选中译本可以在李文林主编的《数学珍宝:历史文献精选》中找到.在这篇文章里,他研究了弦振动并推导出了弦振动方程,用今天的话来说,该方程是\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
\end{equation}其中$u(x,t)$是二阶连续可微函数.下面,我们遵照D’Alembert的精神,求解偏微分方程\eqref{eq:1}.当然,涉及矩阵对角化的那一段,是我自己帮他加上的(因为D’Alembert那个时候没有矩阵的概念,当然,他自己心里应该有类似目的,即便矩阵的概念还没诞生).这种解法和当今的多数教材在形式上有所差别.令$\frac{du}{dt}=p(x,t)$,$\frac{du}{dx}=q(x,t)$,则我们有全微分方程\begin{equation}\label{eq:2} du=pdt+qdx.\end{equation}弦振动方程\eqref{eq:1}等价于
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial q}{\partial x}=k_1(x,t)
\end{equation}

$$
设\frac{\partial p}{\partial x}=k_{2}(x,t),
$$
则我们有全微分方程
\begin{equation}
\label{eq:4}
dp=k_1dt+k_2dx,
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\label{eq:5}
dq= k_2dt+k_1dx.
\end{equation}
全微分方程\eqref{eq:4}和\eqref{eq:5}之所以共享同一个$k_2$,乃是因为混合偏导数的Clairaut定理(该定理当然并非Clairaut发现).而且这两个全微分方程已经包含了所有信息.\eqref{eq:4}和\eqref{eq:5}合起来,可以写为
\begin{equation}
\label{eq:6}
\begin{pmatrix}
dp\\
dq
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&k_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dt\\
dx
\end{pmatrix}.
\end{equation}
我们很幸运地发现
$$
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&k_1
\end{pmatrix}
$$
是一个实对称矩阵,为此要好好谢谢混合偏导数的Clairaut定理.我们将该实对称矩阵对角化,对角化的最终目的是为了便于积分.易得
$$
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&k_1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
k_1+k_2&0\\
0&k_1-k_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix},
$$
代入式\eqref{eq:6}可得
\begin{equation}\label{eq:7}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dp\\
dq
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
k_1+k_2&0\\
0&k_1-k_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dt\\
dx
\end{pmatrix}.
\end{equation}
式\eqref{eq:7}也就是
\begin{equation}
\label{eq:8}
\begin{cases}
d(p+q)=(k_1+k_2)d(t+x),\\
d(p-q)=(k_1-k_2)d(t-x)
\end{cases}.
\end{equation}
令$t+x=\xi_1,t-x=\xi_2,p+q=P,p-q=Q$,则\eqref{eq:8}变为
\begin{equation}
\label{eq:9}
\begin{cases}
dP=l_{1}(\xi_1,\xi_2)d\xi_1,\\
dQ=l_2(\xi_1,\xi_2)d\xi_2
\end{cases},
\end{equation}
其中函数
$$l_1(\xi_1,\xi_2)=k_1(x,t)+k_{2}(x,t)=k_1(\frac{\xi_1-\xi_2}{2},\frac{\xi_1+\xi_2}{2})+k_2(\frac{\xi_1-\xi_2}{2},\frac{\xi_1+\xi_2}{2}),$$
$$l_{2}(\xi_1,\xi_2)=k_1(x,t)-k_{2}(x,t)=k_1(\frac{\xi_1-\xi_2}{2},\frac{\xi_1+\xi_2}{2})-k_2(\frac{\xi_1-\xi_2}{2},\frac{\xi_1+\xi_2}{2}).$$对\eqref{eq:9}积分可得
$$
P=\int l_1d\xi_1,Q=\int l_2d\xi_2.
$$
于是,
\begin{equation}\label{eq:10}
p=\frac{P+Q}{2}=\frac{\int l_1d\xi_1+\int l_2d\xi_2}{2}=\frac{f(\xi_{1})+g(\xi_{2})}{2},q=\frac{P-Q}{2}=\frac{\int l_1d\xi_1-\int l_2d\xi_2}{2}=\frac{f(\xi_{1})-g(\xi_{2})}{2},
\end{equation}
其中$f=\int l_1d\xi_{1},g=\int l_2d\xi_{2}$.将\eqref{eq:10}代入\eqref{eq:2},可得
\begin{equation}
\label{eq:11}
du=\frac{f(\xi_1)}{2}d\xi_1+\frac{g(\xi_2)}{2}d\xi_2.
\end{equation}
对式\eqref{eq:11}积分,可得
$$
u=F(\xi_1)+G(\xi_2)=F(t+x)+G(t-x).
$$
这样就给出了偏微分方程\eqref{eq:1}的解.

:同样的方法对于椭圆型偏微分方程——Laplace方程失效.下面是我的一次失败尝试.

我们尝试用类似的方法来研究著名的Laplace方程
\begin{equation}\label{eq:2.1}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
\end{equation}
之所以想要研究这个方程,是因为这个方程和弦振动方程形式上的相似性,Laplace方程只不过比弦振动方程多了个负号.我们照样假设$u$是二阶连续可微的函数.令$\frac{du}{dx}=p(x,y),\frac{du}{dy}=q(x,y)$,则我们有全微分方程
\begin{equation}
\label{eq:2.2}
du=pdx+qdy.
\end{equation}
而且,方程\eqref{eq:2.1}变成
\begin{equation}
\label{eq:2.3}
\frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\partial q}{\partial y}=k_1(x,y).
\end{equation}

$$
\frac{\partial p}{\partial y}=k_2(x,y),
$$
则我们有全微分方程
\begin{equation}
\label{eq:2.4}
dp=k_1dx+k_2dy,
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\label{eq:2.5}
dq=k_2dx-k_1dy.
\end{equation}
同样,全微分方程\eqref{eq:2.4}和\eqref{eq:2.5}之所以共享同一个$k_{2}$,乃是因为混合偏导数的Clairaut定理.将\eqref{eq:2.4}和\eqref{eq:2.5}合起来,可得
\begin{equation}
\label{eq:2.6}
\begin{pmatrix}
dp\\
dq
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&-k_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}.
\end{equation}
将实对称矩阵
$$
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&-k_1
\end{pmatrix}
$$
对角化,可得
\begin{equation}
\label{eq:2.7}
\begin{pmatrix}
k_1&k_2\\
k_2&-k_1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{-k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{k_1}{2
\sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}\\
\frac{k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{-k_1}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
-\sqrt{k_1^2+k_2^2}&0\\
0& \sqrt{k_1^2+k_2^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{-k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{k_1}{2
\sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}\\
\frac{k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{-k_1}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
将\eqref{eq:2.7}代入\eqref{eq:2.6},可得
\begin{equation}
\label{eq:2.8}
\begin{pmatrix}
\frac{-k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{k_1}{2
\sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}\\
\frac{k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{-k_1}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dp\\
dq
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\sqrt{k_1^2+k_2^2}&0\\
0& \sqrt{k_1^2+k_2^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{-k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{k_1}{2
\sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}\\
\frac{k_2}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}&\frac{-k_1}{2 \sqrt{k_1^2+k_2^2}}+\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}.
\end{equation}
然后就做不下去了.