叶卢庆的博客

利用多元微分学证明一个初等不等式

我这个学期选修了学校的初等数学研究课.下面这个不等式是斯海霞老师布置的一个作业,来自叶立军等人所编的《初等数学研究》(华东师范大学出版社2008年出版)的习题2.43:

已知$x,y,z$三个实数满足$0<x,y,z<1$,证明:$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$.

我打算尝试用多元微分学的相关理论来做这个题目.我们考虑定义在$\mathbf{R}^3$上的闭正方体$\mathcal{A}=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$上的函数$f(x,y,z)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)$.由闭集合上连续函数的相关性质,$f$在$\mathcal{A}$上存在最大值.

  • 当$f$限制在闭正方体$\mathcal{A}$的内部(interior)时,$$\frac{\partial f}{\partial x}=1-y-z.$$可见,当$y,z$固定且$0<y+z< 1$时,限制在区域内部的$f$关于$x$递增;当$y,z$固定且$1<y+z<2$时,限制在区域内部的$f$关于$x$递减;当$y,z$固定且$y+z=1$时,限制在区域内部的$f$与$x$无关,此时$f(x,y,z)=z^2-z+1<1$(因为$0<z<1$).再加上$\mathcal{A}$上的$f$是连续函数,这说明,$f$的最大值只能在$\mathcal{A}$的边界取得.
  • 当$f$限制在闭正方体$\mathcal{A}$的边界(boundary)上时,可得$\{x,y,z\}\cap\{0,1\}\neq \emptyset$.然后继续分类讨论.当$x=0$时,可得$f(x,y,z)=y(1-z)+z\leq 1-z+z=1$,等号取到当且仅当$\{y,z\}\cap \{1\}\neq\emptyset$.当$x=1$时,可得$f(x,y,z)=1-y+y(1-z)=1-yz\leq 1$,等号取到当且仅当$yz=0$.根据对称性,最终可得:限制在边界上的$f$取到最大值$1$当且仅当$x,y,z$三者中一者为$0$,一者为$1$.

综合上面两点,可得$f$在$\mathcal{A}$上当且仅当$x,y,z$三者中有一者为$0$,有一者为$1$时,取得最大值$1$.由于题目中$x,y,z$既不等于$0$又不等于$1$,因此题目中的不等式成立.实际上,由我们的推理过程,可以看出,该不等式的条件可以放松,可得

已知$x,y,z$三个实数满足$0\leq x,y,z\leq 1$,且当$x,y,z$中一者为$0$时,其余二者中没有$1$.则有$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$.