叶卢庆的博客

如何定义复幂函数

所谓的复幂函数,是指形如 $x^b$ 的函数,其中 $x$ 是复变量,$b$ 是复常数,且$b$ 的取值让 $x^b$ 有意义.下面详细地叙述其定义过程.

###当$b$是整数时
我们先定义当 $b$ 是自然数的情形.当 $b=0$ 时,人为地规定$x^0=1$(包括规定 $0^0=1$).然后对于任意的 $k\geq 0$,规定 $x^{k+1}=x^k\cdot x$.则根据数学归纳法,对于任意的 $n\in \mathbf{N}^{+}$,$x^n$ 都有了定义.当 $b$ 是负整数时,规定$x^b:=\frac{1}{x^{-b}}$(此时 $x\neq 0$).可见,当 $b$ 是整数时,如果$x$ 确定,则 $x^b$ 也确定.

###当$b$是有理数时
当$b$不是整数,但是是有理数时,设 $b=\frac{p}{q}$,其中$p,q\in \mathbf{Z}$互素,且$q>1$.此时,定义
$$
x^b=x^{\frac{p}{q}}:=(x^{\frac{1}{q}})^p.
$$
当$x=0$时,由上述定义$x^b$自然为$0$.然而对于任意一个非零复数$x$来说,$x^{\frac{1}{q}}$都有$q$个值.设$x=re^{i\phi}$,其中 $r>0,-\pi<\phi\leq \pi$,则这$q$个值分别为
$$
r^{\frac{1}{q}}e^{\frac{\phi}{q}i},r^{\frac{1}{q}}e^{\frac{\phi+2\pi}{q}i},\cdots,r^{\frac{1}{q}}e^{\frac{\phi+2(q-1)\pi}{q}i}.
$$
(其中$r^{\frac{1}{q}}$是实数,因为即便$r^{\frac{1}{q}}$是可以取到$q$个值的复数,也没什么用——都已经被$r^{\frac{1}{q}}$是实数的情形囊括了.)因此对于任意一个非零复数 $x$,$x^b$ 也有 $q$ 个值($x^b$ 有 $q$个值不是显然的,然而证明它仅需要简单的初等数论知识),分别是上述每个数的$p$次方,依次为
$$
r^{\frac{p}{q}}e^{\frac{p\phi}{q}i},r^{\frac{p}{q}}e^{\frac{(\phi+2\pi)p}{q}i},\cdots,r^{\frac{p}{q}}e^{\frac{(\phi+2(q-1)\pi)p}{q}i}.
$$
(其中$r^{\frac{p}{q}}$是实数)

###当$b$是无理数时
当$b$是无理数时,$b$必然可作为一列有理数
$$
\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},\cdots,\frac{p_n}{q_n},\cdots
$$
的极限,其中 $q_1>1$,$\forall k\geq 1,p_k,q_k$ 互素,且 $q_1,\cdots,q_n,\cdots$和$p_1,\cdots,p_{n},\cdots$ 都递增.我们已经知道,当 $x\neq 0$ 时,$ x^{\frac{p_k}{q_k}}$ 可以取$q_k$ 个值,分别为
$$
r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{p_k\phi}{q_k}i},r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{(\phi+2\pi)p_k}{q_k}i},\cdots,r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{(\phi+2(q_k-1)\pi)p_k}{q_k}i}.
$$
(其中$r^{\frac{p_k}{q_k}}$是实数)因此定义当 $x\neq 0$ 时,
$$
\lim_{k\to\infty}r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{p_k\phi}{q_k}i}=r^{b}e^{b\phi
i},\lim_{k\to\infty}r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{(\phi+2\pi)p_k}{q_k}i}=r^be^{b(\phi+2\pi)i},\cdots,\lim_{k\to\infty}r^{\frac{p_k}{q_k}}e^{\frac{(\phi+2n\pi)p_k}{q_k}i}=r^{b}e^{b(\phi+2n\pi)i},\cdots
$$
分别为 $x^b$ 的第 $1$个值,第$2$个值,……,第 $n$ 个值,……由于$b$ 是无理数,因此上述可数个值两两互不相等.这说明,对于非零复数 $x$ 来说,当$b$ 是无理数时, $x^b$ 有可数个值.(其中$r^{b}$是实数)

###当$b$是虚数时
当$b$是虚数时,情况比较复杂.我们放在以后讨论.