叶卢庆的博客

Picard-Lindelöf定理

常微分方程中的Picard-Lindelöf定理叙述如下:

(Picard-Lindelöf定理):设初值问题: $$ (E):\frac{dy}{dx}=f(x,y),y(x_0)=y_0, $$ 其中 $f(x,y)$在矩形区域 $$ R:|x-x_0|\leq a,|y-y_0|\leq b $$ 内连续,而且对 $y$ 满足Lipschitz 条件,即存在一个正实数 $h$,使得在矩形区域 $R$ 内任意的不同点 $(x,y_1),(x,y_2)$,都有$$\left|\frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2}\right|\leq h.$$则 $(E)$ 在区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上有且只有一个解,其中常数 $$ h=\min{a,\frac{b}{M}},M>\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|. $$


注:我们发现$\frac{\partial f}{\partial y}$在区域$R$上存在并连续时,在$R$上$f$肯定对$y$满足Lipschits条件.这个情形是Cauchy发现的.实际上,Picard-Lindelöf定理是在Cauchy定理的基础上进行的推广.

下面我们给出该定理的证明.我们先证明该定理的存在性部分.我们的证明是结合物理意义而进行的.而且我们的证明不同于书上利用Picard迭代来证明,本质是利用Euler折线法来进行迭代.

证明:我们考虑该问题的物理意义.物理意义是质点的一维运动.其中$x$是时间,$y$是位移.$f(x,y)$ 是速度(虽然物理世界中的速度关于时间和位移都是可微的,但是在这里我们只假定这个速度是数学世界中的速度,只关于时间和位移连续).质点在时间$x_0$从点 $y_0$ 出发,初始速度为 $f(x_0,y_0)$.

在接下来很短的时间$[x_0,x_0+\Delta x)$里,让质点以速度$f(x_0,y_0)$进行匀速直线运动.当质点走完时间 $\Delta x$ 后,我们继续为这个质点分配同样短的一段时间 $\Delta x$,质点在接下来的时间段 $[x_0+\Delta x,x_0+2\Delta x)$内以速度$f(x_0+\Delta x,y_0+f(x_0,y_0)\Delta x)$进行匀速直线运动.

就这样不断地为质点分配相同短的运动时间 $\Delta x$,在每段很短的时间里,质点的运动都为匀速直线运动,且速度为质点在该段时间初始的速度.这样从总体上看来,质点就存在了一种折线运动方式. 以质点的位置为纵坐标,时间为横坐标,我们可以画出质点的 时间-位置 图像,以此来描述质点的运动.如图1,我们发现每段时间为 $\Delta x$ 的时候,质点的运动从整体上呈现出一条折线.

图1

易得,每给定一个 $\Delta x$,质点就存在唯一的一个相应运动方式.现在,我们将每小段的时间 $\Delta x$ 减半,变成 $\frac{\Delta x}{2}$,则质点的运动将呈现出如图2中的状态.

图2

以此类推,可见,当我们不断地将质点的匀速运动时间 $\Delta x$ 二等分,质点的运动将会越来越精细.现在我们来看序列 $$ \Delta x,\frac{\Delta x}{2},\frac{\Delta x}{4},\cdots,\frac{\Delta x}{2^n},\cdots $$ 该序列中的每一个数都对应着质点的唯一一种折线运动状态.质点的每个运动状态都是质点的位置关于时间的函数,因此上面的序列依次对应一列函数 $$ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_{n}(x),\cdots $$ 由于在微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 中质点的运动速度是时间的连续函数,因此当 $n$ 足够大时,质点在相邻时间段内的运动发生的偏折不会太大,也即在相邻时间段,质点的速度的差距不会太大.更精确地来讲,对于任意给定的正实数 $\varepsilon$,都存在相应的正整数 $N$,使得对于一切 $n>N$,当质点按照数 $\frac{\Delta x}{2^n}$ 对应的运动方式进行折线运动时,对于任意两个相邻的时间段来说,质点的速度差都会控制在 $\varepsilon$ 以内.这根据闭区间上的连续函数一致连续是很容易证明的.

现在,我们证明,当 $n\to\infty$ 时,数 $\frac{\Delta x}{2^n}$ 对应的运动方式存在,且此时很可能已经不再是折线运动,而可能是一条光滑的曲线.更加详细地说,我们要证明的是,函数列 $$ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x) $$ 一致收敛于某个连续可微的函数 $f(x)$.

我们来看数 $\frac{\Delta x}{2^n}$ 对应的质点折线运动路径和$\frac{\Delta x}{2^{n+1}}$ 对应的质点折线运动路径.在时间$[x_0,x_0+\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$ 里,两种运动方式完全重合,因此没有造成路程差. 在时间 $[x_0+\frac{\Delta x}{2^{n+1}},x_0+2\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$里,两种运动方式有可能造成距离差异.不妨设此时数$\frac{\Delta x}{2^{n+1}}$ 对应的运动方式在时间 $[x_0+\frac{\Delta x}{2^{n+1}},x_0+2\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$ 与数 $\frac{\Delta x}{2^n}$ 对应的运动方式造成了距离 $T_1=G_{n}$.然后在时间段$[x_0+2\frac{\Delta x}{2^{n+1}},x_0+3\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$ 里,根据Lipchitz条件,我们知道,两种运动方式速度顶多相差 $G_{n}h$.因此两种运动方式在经过了时间段 $[x_0+2\frac{\Delta x}{2^{n+1}},x_0+3\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$ 后的总路程差至多为 $T_2=G_{n}+G_{n}h\frac{\Delta x}{2^{n+1}}$.

设 $T_k$表示两种方式在经过时间段$[x_0+k\frac{\Delta x}{2^{n+1}},x_0+(k+1)\frac{\Delta x}{2^{n+1}}]$后造成的至多的总路程差.易得$\forall k\geq 1$,$T_{k+1}=T_k+T_k \frac{h\Delta x}{2^{n+1}}=T_k(1+\frac{h\Delta x}{2^{n+1}})$.因此$\forall k\geq 1$,$$T_k=G_{n}(1+h \frac{\Delta x}{2^{n+1}})^k.$$下面我们来看 $T_{2^{n+1}}$.易得$$\lim_{n\to\infty}T_{2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}G_{n}(1+h \frac{\Delta x}{2^{n+1}})^{2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}G_{n}e^{h\Delta x}=0.$$不过,证到这里,并没有结束.我们发现我们的证明方向出现了偏差.到目前为止,其实我们只是证明了当 $\Delta x$ 给定,且 $n$ 无论多大的时候,质点按照数 $\frac{\Delta x}{2^n}$ 和 $\frac{\Delta x}{2^{n+1}}$两种运动方式走完 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 这段时间所造成的路程差都是有界的,且当 $n\to\infty$ 时,造成的路程差也趋于0.光凭这一点,还不能判断质点所有的路径最后会一致收敛于某条路径.虽然如此,我们仍然可以继续做下去.可得$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^{+\infty}G_{i}e^{h\Delta x}=e^{h\Delta x}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^{+\infty}G_{i}=0,$$这是因为由于$f(x,y)$关于$x,y$连续,因此在包括起始点的某个闭区间内,$f(x,y)$之间的差距不会大于某个数$H$,因此$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^{+\infty}G_i\leq \lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^{+\infty}\frac{H\Delta x}{2^n}=0.$$因此质点所有的路径最后会一致收敛于某条路径.

至于 $f(x)$ 的连续可微性,应该是容易证明和想象的.

下面我们来证明唯一性的部分.Lipschitz条件是为了给速度一个控制.质点可能存在多种运动方式,但是Lipschitz条件保证了,在同一个时刻 $t$,速度不会超过在 $t$ 时刻不同运动方式导致的位移差的某个固定倍数.我们要的就是证明,Lipschitz条件导致了该质点在出发不久的时间里运动方式的唯一性.

证明:我们先来看下面这种特殊情形.如果质点在时间 $x_0$,位置 $y_0$的速度为0,即 $f(x_0,y_0)=0$,且 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R$ 内连续且对$y$ 满足Lipschitz条件,则质点在时间 $x_0$ 附近足够短的时间段内的唯一运动方式就是静止在 $y_0$ 处.下面我们来证明这一点.我们用反证法.假如质点在 $x_0$ 附近的任意短的时间段内,除了静止之外,还有一种运动方式,设依着这种运动方式,质点的速度随时间的函数为 $h(t)$,则我们知道,$h(x_0)=0$.经过时间 $t$,质点的位移为$$\int_{x_{0}}^{x_0+t}h(s)ds.$$由于当 $t\to 0$ 时,$$\int_{x_0}^{x_0+t}h(s)ds=o(h(x_0+t)),$$因此当 $\int_{x_0}^{x_0+t}h(s)ds\neq 0$ 时,$$\lim_{t\to 0}\frac{h(x_0+t)}{\int_{x_{0}}^{x_0+t}h(s)ds}=\infty.$$可见,Lipschitz条件不满足.因此质点只能是静止这一种运动方式.

接下来我们看一般情形.假如质点在时间 $x_0$,位置 $y_0$的速度为 $f(x_0,y_0)$,其中 $f(x_0,y_0)$ 未必为0,且 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R$ 内连续且对$y$ 满足Lipschitz条件,则质点在时间 $x_0$ 附近足够短的时间段内的运动方式是唯一的.我们采用反证法.假设质点在时间 $x_0$ 附近的任意短的时间段内的运动方式不唯一,则设存在两种运动方式 $A$ 和$B$.当质点按照运动方式 $A$ 的时候,设速度随时间的函数为 $V_A(t)$.当质点按照运动方式 $B$ 的时候,设速度随时间的函数为 $V_B(t)$.我们知道,$V_A(x_0)=f(x_0,y_0)$,且经过时间 $t$ 后,质点按照运动方式 $A$ 的位移为$$\int_{x_0}^{x_0+t}V_A(s)ds.$$按照运动方式 $B$ 的位移为$$\int_{x_0}^{x_0+t}V_B(s)ds.$$下面我们来看$$V_A(t)-V_B(t)$$与$$\int_{x_0}^{x_0+t}(V_A(s)-V_B(s))ds.$$易得当 $t\to 0$ 时,$$\int_{x_0}^{x_0+t}(V_A(s)-V_B(s))ds=o(V_A(t)-V_B(t)).$$因此,当 $\int_{x_0}^{x_0+t}(V_A(s)-V_B(s))ds\neq 0$ 时,我们有$$\lim_{t\to 0}\frac{V_A(t)-V_B(t)}{\int_{x_0}^{x_0+t}(V_A(s)-V_yB(s))ds}=\infty.$$因此,Lipschitz条件不满足,矛盾.