叶卢庆的博客

Lagrange中值定理的一个新证明

众所周知,Lagrange中值定理叙述如下:

(Lagrange中值定理)令$f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$为闭区间$[a,b]$上的一个连续函数,且在开区间$(a,b)$内可导,其中$a<b$,那么在$(a,b)$上存在某个$c$使得$$f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

其通常证明需要构造一辅助函数,再使用 Rolle定理.Rolle定理固然容易,但是却难以想到要构造辅助函数.在此我给出Lagrange中值定理一个直接的证明.

图1

证明:构造曲线$\gamma:[a,b]\to \mathbf{R}^{2}$,使得$\gamma(t)=(t,f(t))$.由连续函数的性质,易得该曲线的像集有界.因此可以用$\mathbf{R}^2$中的一个矩形$ABCD$将整个曲线的像集覆盖,并且矩形的其中两条边$AD,BC$与连接点$(a,f(a)),(b,f(b))$的直线平行,自然地,矩形的另外两条边$AB,CD$与连接点$(a,f(a)),(b,f(b))$的直线垂直.

下面我们开始程序化操作过程.

  • 令$n=0$.且令$A_0=A,B_0=B,C_0=C,D_0=D$.
  • 分别取边$A_{n}B_{n},C_{n}D_{n}$的中点,将中点连接,形成一条线段$P_{n}$.该线段将矩形$A_nB_nC_nD_n$分成两个同样的小矩形,且该线段与连接点$(a,f(a)),(b,f(b))$的直线平行.若曲线$\gamma$上的点在线段$P_{n}$下方(不包括$P_n$上)没有分布,则把$A_{n}B_{n}$的中点标记为$B_{n}$,把$C_{n}D_{n}$的中点标记为$C_{n}$,同时把原来标有$B_n,C_n$的点的标记擦除.否则,则把$A_{n}B_{n}$的中点标记为$A_{n}$,把$C_{n}D_{n}$的中点标记为$D_{n}$,然后把原来标有$A_n,D_n$的点上的标记擦除.
  • 把$n$用$n+1$代替.
  • 返回第二步继续操作.

这样不断地操作下去,根据闭区间套原理,可以得到线段$\lim_{n\to\infty}P_n$.线段$\lim_{n\to\infty}P_n$必与曲线$\gamma$有交点,这是因为曲线$\gamma$的像是$\mathbf{R}^2$中的闭集.下面,我们用反证法来证明,$\lim_{n\to\infty}P_n$必定是任意一个交点在曲线$\gamma$上的切线.

如果对于其中某个交点,$\lim_{n\to\infty}P_n$不是该交点在曲线$\gamma$上的切线,则$\lim_{n\to\infty}P_n$将与该交点在曲线$\gamma$上的切线相交,由线性逼近,在该交点的某个邻域内,曲线$\gamma$的像将穿过直线$\lim_{n\to\infty}P_n$,这与直线$\lim_{n\to\infty}P_n$的构造过程矛盾.

可见,$\lim_{n\to\infty}P_n$必定是任意一个交点在曲线$\gamma$上的切线.这样就完成了Lagrange中值定理的证明.