叶卢庆的博客

什么函数的有界导函数非Riemann可积

有一个数学分析书上很少提到的事实,就是:

一个可微函数的有界导函数在闭区间上未必Riemann可积.

这可能违反了很多人的臆测.Volterra函数就是一个例子.Volterra函数是在定义域上处处可微的函数,而且Volterra函数在定义域上的导函数有界,但是导函数却在一个正Lebesgue测度的集合上不连续,这就违反了Riemann可积性的判别法则:

一个有界函数在闭区间$[a,b]$上Riemann可积,当且仅当,有界函数在闭区间上不连续点的集合的Lebesgue测度是$0$.

这个事实其实说明了Riemann积分的局限性.

Volterra函数构造的关键是使用了一个构造过程类似于 Cantor三分集 的集合,姑且叫它类Cantor集.类Cantor集合构造如下:

  • 把区间$[0,1]$的正中间长度占整个区间$\frac{1}{4}$比例的开区间挖掉.
  • 对剩下的2个闭区间分别进行和第一步中的操作相同的操作.
  • 对剩下的4个闭区间分别进行和第一步中的操作相同的操作.
  • 对剩下的8个闭区间分别进行和第一步中的操作相同的操作.
  • $\vdots$

这样不断地操作下去,最终剩下的点集就是类Cantor三分集.只不过Cantor三分集的Lebesgue测度为$0$,而类Cantor集通过调整,其Lebesgue测度为正.这是事实一.

我们发现随着操作的进行,被挖掉的单个区间会越来越小,被挖掉的单个区间的数目也越来越多.最终,类Cantor集合中任意一个点的任意一个邻域都会与被挖掉的某个区间相交,因此也包含被挖掉的那个区间的一个端点.这是事实二.

而且在构造类Cantor集时,凡是被挖掉的区间上都放置了一个在区间端点处导函数不连续,但是却处处可导的函数.函数的大小和被挖掉的区间大小相适应.这是事实三.

通过这三个事实的综合,保证了Volterra函数的导函数的不连续点集合的Lebesgue测度是正的.这样就完成了Volterra函数的构造.