叶卢庆的博客

平面转动系统中质点的运动

我们来看平面转动坐标系中质点的运动.平面上有一个很大的圆盘,一个质点从圆盘的中心开始往外进行相对于平面的匀速直线运动.现在,让圆盘在平面上以圆心为中心开始顺时针匀速转动,圆盘相对于平面运动的角速度为$\omega$,而质点相对于平面仍然进行以圆心为起始点的匀速直线运动.

设$O$是圆盘的圆心,且平面上有一个标架$\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$,其中$\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$是有序单位正交基.圆盘上也有一个标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$,其中$\beta=(\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’)$是有序单位正交基.且从基$\alpha$到$\beta$的过渡矩阵为$$[I]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix} \cos |\omega|t&-\sin |\omega|t\\ \sin |\omega|t&\cos |\omega|t\end{pmatrix}.$$
其中$t\in [0,+\infty)$ 是时间,$t$增大表明时间在流逝.若质点在标架$\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下的坐标为$(a,b)_{xoy}$,则质点在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下的坐标为\begin{equation} \label{eq:1} \begin{pmatrix} \cos |\omega|t&-\sin |\omega|t\\ \sin |\omega|t&\cos |\omega|t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}_{x’o’y’}.\end{equation}
因此,如果在标架$\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下质点的运动速度为$(m,n)_{xoy}$,则经过时间$t$,质点在标架$\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下的位移为$(mt,nt)_{xoy}$,则经过时间$t$,质点在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下的位移为$$
\begin{pmatrix}
\cos |\omega|t&-\sin |\omega|t\\
\sin |\omega|t&\cos |\omega|t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
mt\\
nt\\
\end{pmatrix}_{x’o’y’}= \begin{pmatrix}
t\cos |\omega|t&-t\sin |\omega|t\\
t\sin |\omega|t&t\cos |\omega|t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}_{x’o’y’}.
$$于是,在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下,经过时间$t$的时候,质点的速度为
\begin{align}
&\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t-|\omega|t\sin|\omega|t& -\sin|\omega|t-|\omega|t\cos|\omega|t \\
\sin|\omega|t+|\omega|t\cos|\omega|t&
\cos|\omega|t-|\omega|t\sin|\omega|t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}_{x’o’y’}\\&=
\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}+|\omega|t
\begin{pmatrix}
\cos (|\omega|t+\frac{\pi}{2})&-\sin(|\omega|t+\frac{\pi}{2})\\
\sin(|\omega|t+\frac{\pi}{2})& \cos (|\omega|t+\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}_{x’o’y’}\\&=\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}\left[
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}+|\omega|t
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}
\right]_{x’o’y’}.
\end{align}
出现这个式子并不奇怪.因为\begin{equation}\label{eq:5}
\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n
\end{pmatrix}_{x’o’y’}
\end{equation}就是在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下质点相对于质点所在的平面位置的速度.而\begin{equation}\label{eq:6}
|\omega|t
\begin{pmatrix}
\cos (|\omega|t+\frac{\pi}{2})&-\sin(|\omega|t+\frac{\pi}{2})\\
\sin(|\omega|t+\frac{\pi}{2})& \cos (|\omega|t+\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}_{x’o’y’}
\end{equation}就是在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下质点所在的平面位置的速度.因此式\eqref{eq:5}和式\eqref{eq:6}叠加一下,就是在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下质点的速度.

下面我们来求出在标架$\{O;\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’\}$下质点的加速度.为此只用对式(4)关于$t$求导.结果为\begin{equation}
\label{eq:7}
|\omega|
\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}\left[
2I+|\omega|t
\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\right]
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}.
\end{equation}在式\eqref{eq:7}中,\begin{equation}
\label{eq:8}
|\omega|
\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}\left[
|\omega|t
\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\right]
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}
\end{equation}是以圆盘为参照系时,质点的向心加速度.而多出来的
\begin{equation}
\label{eq:9}
2|\omega|
\begin{pmatrix}
\cos|\omega|t&-\sin|\omega|t\\
\sin|\omega|t&\cos|\omega|t
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2}&-\sin \frac{\pi}{2}\\
\sin \frac{\pi}{2}&\cos \frac{\pi}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n\\
\end{pmatrix}
\end{equation}是质点的Criolis加速度.