叶卢庆的博客

人教版高中教材对线速度和角速度的介绍是错的

人教版高中物理必修2,第5.5节《圆周运动》中,对线速度和角速度的介绍是错的.它对线速度的介绍如图1.

图1

教材把线速度定义为质点通过的弧长与经过的时间之比的极限值,但是我们知道,弧长是个标量,按照这样的定义,线速度就成了个标量,这与教材所说的”线速度是矢量”矛盾.因此教材对线速度的定义是错的,应该把定义改成质点的位移与经过的时间之比的极限值.

这是主要的错误.再来说一点次要的错误.虽然是次要的错误,但是错误就是错误.图1中,教材为了突出线速度的瞬时性,说“取一段很短的时间$\Delta t$”,但是很短的时间到底是多短的时间?这里不可避免地用到极限.这个难点是不可逃避的,教材不要试着去逃避,而要试着去说清!

而且,图1中,教材还说,”当$\Delta t$足够小时,弧长$\Delta l$成了物体由A到B的位移”.弧长明明是标量,怎么会成为位移这个矢量呢?这也是一个错误.


图2

再来说说教材对角速度这个概念的介绍错误.如图2,按照这样的定义,角速度是一个标量,而且如果不考虑转角$\Delta \theta$的方向,角速度还只能是个非负的标量.这与大学中把角速度定义为一个矢量矛盾.也许有人会说,中学不必与大学相同.那好,姑且把这个问题放一放,我们就按照教材,角速度是个标量.可教材后面又说,线速度和角速度的关系是
图3

我们来看图3中的方程3,线速度$v$是矢量,角速度$\omega$和半径$r$是标量.我不禁要问教材的编写者,两个标量乘起来应该仍然是标量才对,怎么成了个牛头不对马嘴的矢量?

补救方法是,把角速度定义为一个向量,为$\omega=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{|\mathbf{r}|^2}$,其中$\mathbf{r}$表示起点在圆心,终点在质点位置的向量,$\mathbf{v}$表示质点的线速度.$\times$是向量的向量积.在这样的定义下,图3中的公式可以修正为$$\mathbf{v}=\omega\times\mathbf{r}.$$

我要强调的是,哪怕把教材写得难一点,也不要把教材写错.因为难一点的内容可以通过良好的介绍变简单,但是写错的教材是误人子弟,对爱思考的学生尤其不公平.