叶卢庆的博客

保守系统

一个力学系统称为保守系统,如果当粒子在该系统里从位置A沿着任意路径运动到位置B时,系统作用在粒子上的力对粒子所作的功和路径无关.要注意的是粒子本身也是保守系统的组成部分.

这样,粒子从点A沿着路径$\alpha$运动到点B,和从点A沿着路径$\beta$运动到点B,系统对粒子所作的功是相同的,都为$W$.而且,易得粒子从点B沿着路径$\beta$回到点A,系统对粒子所作的功为$-W$.于是,当粒子沿着路径$\alpha$从点A运动到点B,再从点B沿着路径$\beta$回到点A,在整个过程里,系统对粒子所作的功为$W+(-W)=0$.也就是说,\begin{equation}\label{eq:1}\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=0,\end{equation}其中$C$是任意环路.

反之,从式\eqref{eq:1}也能推出粒子从A沿着任意路径到B时,系统对粒子作的功和路径无关.所以,上面的两个性质是等价的.

规定当粒子在保守系统中某一固定的点A处,有一个值$V(A)$,且当粒子从A沿着任意路径$\alpha$运动到任意一点B时,粒子在B处的值为\begin{equation}\label{eq:2}V(B):=V(A)-\int_{\alpha}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.\end{equation}
表达式\eqref{eq:2}叫做粒子在B处的势能.当粒子从A到B,如果系统对粒子作的是正功,则$V(A)>V(B)$;如果作的是负功,则$V(A)<V(B)$;如果不作功,则$V(A)=V(B)$.

可见,保守系统对粒子作多少功,粒子的势能就会损失多少.由功能原理,系统对粒子作多少功,粒子的动能就会增加多少.所以粒子的动能与势能之和不会损失.这就是机械能守恒.

下面我们来看保守系统作用在粒子上的力有什么特点.对式\eqref{eq:2}微分可得\begin{equation}\label{eq:3}-dV=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s},\end{equation}可见,力$\mathbf{F}$的方向就是$V$下降最快的方向,也即是$\mathbf{F}$的方向和粒子所处的地方的$V$的梯度向量相反.如果把力场给画出来,则力线和$V$的等势线是正交的.

Green定理告诉我们,在$xy$平面直角坐标系上,如果系统作用在粒子上的力$(P(x,y),Q(x,y))$关于$x,y$都是连续可微的,则有明显的方法判断该系统是否是保守系统,即当且仅当$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$时,系统是保守的.当然,也可以不用Green定理.一个系统是保守的,当且仅当\eqref{eq:3}式成立,即$$-dV=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$$也即,$$-\frac{\partial V}{\partial x}=P(x,y),-\frac{\partial V}{\partial y}=Q(x,y).$$根据混合偏导数的Clairaut定理,可得$$-\frac{\partial V}{\partial x\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial y\partial x}\iff \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.$$

下面我们举一个非保守系统的例子.

例 1:我们知道,在空中运动的物体,如果没有空气摩擦力等阻力,则物体和地球形成一个保守系统(为简化问题起见,假设地球无限大,而且保持不动,而物体比较小,离地面也很近),作用在物体上的力是地球对物体的引力.但是如果考虑空气摩擦力,则物体和地球不组成保守系统,因为摩擦力的方向实际上还由物体的速度决定,而保守系统里作用在物体上的力的方向全由物体的位置决定.