叶卢庆的博客

功能原理

变动的外力$\mathbf{F}$对质点$P$作功,期间质点$P$从点$A$移动到点$B$.$\mathbf{F}$对质点所做的功为
$$
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s},
$$其中$C$表示从$A$到$B$的质点所经过的路径,该路径是带有方向的,以$A$为起点,以$B$为终点.则我们有
$$
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_Cm\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}dt= m\int
\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}.
$$
其中$m$是质点的质量,$\mathbf{v}$是速度.我们熟悉分部积分公式,
$$
\int_a^bG(x)dF(x)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_a^bF(x)dG(x),
$$
该公式容易推广到向量内积版本.可得
$$
\int\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_2)^2-\mathbf{v}(t_1)^2-\int\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v},
$$
于是
$$
\int \mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot \mathbf{v}dt=\frac{1}{2}(\mathbf{v}(t_2)^2-\mathbf{v}(t_1)^2),
$$
于是,
$$
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\frac{1}{2}m(\mathbf{v}(t_2)^2-\mathbf{v}(t_1)^2).
$$
这就是功能原理.