叶卢庆的博客

$n$ 维空间中两个 $m$ 维有向平行体的内积

我们知道,对于 $\mathbf{R}^n$ 中的两个向量 $\mathbf{p}=(p_1,p_2,\cdots,p_n)$ 和向量 $\mathbf{q}=(q_1,q_2,\cdots,q_n)$,它们之间的内积是
$$
|\mathbf{p}||\mathbf{q}|\cos\alpha,
$$
其中 $|\mathbf{p}|,|\mathbf{q}|$ 是两个向量的长度,$\alpha$ 是两个向量之间的夹角.也许读者觉得难以想像 $n$ 维空间中两个向量的夹角,毕竟很多人的经验都只是停留在 $n=1,2,3$ 的情形.其实可以这样想像:只考虑 $n$ 维空间中两个向量 $\mathbf{p},\mathbf{q}$ 张成的二维子空间,这个二维子空间就是我们喜闻乐见的二维平面.然后只在该二维平面上看两个向量的夹角,此时你所看到的两个向量的夹角就是 $\alpha$.

然后在 $\mathbf{p},\mathbf{q}$ 张成的二维平面上使用余弦定理,可得
$$
\cos\alpha
=\frac{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{q}|^2-|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}{2
|\mathbf{p}||\mathbf{q}|},
$$
于是,两个向量的内积就是
\begin{align*}
|\mathbf{p}||\mathbf{q}|\cos\alpha&=|\mathbf{p}||\mathbf{q}| \frac{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{q}|^2-|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}{2|\mathbf{p}||\mathbf{q}|}\\&=\frac{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{q}|^2-|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}{2}\\&=p_1q_1+p_2q_2+\cdots+p_nq_n.
\end{align*}
这就是我们熟知的两个向量的内积公式.

如果向量 $\mathbf{p}$ 在向量 $\mathbf{q}$ 所张成的子空间上的正投影 $\mathbf{p}’$ 和向量 $\mathbf{q}$ 的方向相同,则两个向量的夹角是锐角;方向相反,则夹角是钝角.若 $\mathbf{p}’=\mathbf{0}$,则两个向量垂直.

以上都是我们所熟知的事实.在这里,我们要将这些熟知的事实进行高维推广.首先,我们将 $\mathbf{R}^n$ 中的向量推广为 $\mathbf{R}^n$ 中的有向平行体.

定义1(有向平行体) 设 $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_m $ 是 $ \mathbf{R}^n $ 中的 $ m $ 个向量.集合$$ \{p_1\mathbf{a}_1+p_2\mathbf{a}_2+\cdots+p_m\mathbf{a}_m:p_1,p_2,\cdots,p_m\geq 0,p_1+p_2+\cdots+p_m\leq 1\} $$ 叫做 $ \mathbf{R}^{n} $ 中由向量 $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_m $ 张成的一个有向平行体.

设 $ A $ 是 $ \mathbf{R}^{n} $ 中由 $ m $ 个线性无关的向量 $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_m $ 张成的一个 $ m $ 维有向平行体. $ B $ 是 $ \mathbf{R}^n $ 中由 $ m $ 个线性无关的向量$ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 张成的一个 $ m $ 维有向平行体.其中 $ m<n $ .

然后,我们来考虑有向平行体 $ A $ 在有向平行体 $ B $ 所在的子空间上进行投影后得到的有向平行体的 $m$ 维有向体积,与有向平行体 $ B $ 的 $m$ 维有向体积相乘而得到的结果.这与 $ \mathbf{R}^n $ 中两个向量的内积类似,可以看作是一种推广.因此我们称其为 $ \mathbf{R}^n $ 中两个 $ m $ 维有向平行体之间的内积.

设向量 $ \mathbf{a}_j $ 在 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 张成的子空间上的正投影为 $ \mathbf{a}_j’ $ ,易得 $ \mathbf{a}_j’ $ 是存在且唯一的,而且 $ \forall 1\leq i,j\leq m $ ,
\begin{equation}\label{eq:1}
(\mathbf{a}_j-\mathbf{a}_j’)\cdot \mathbf{b}_i=0.\iff \mathbf{a}_j\cdot\mathbf{b}_i=\mathbf{a}_j’\cdot\mathbf{b}_i.
\end{equation}

  • 当 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 是两两正交的向量时.设 $ \mathbf{a}_j’=x_{1j}\mathbf{b}_1+x_{2j}\mathbf{b}_2+\cdots+x_{mj}\mathbf{b}_m $ ,代入关系式\eqref{eq:1},可得 $ x_{ij}|b_i|^2=\mathbf{a}_j\cdot
    \mathbf{b}_i $ .令 $ \mathbf{e}_i=\frac{\mathbf{b}_i}{|\mathbf{b}_i|} $ ,可得 $ x_{ij}=\mathbf{a}_j\cdot\mathbf{e}_i $ .于是
    $$
    \begin{cases}
    \mathbf{a}_1’=(\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1+(\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2+\cdots+(\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{e}_m)\mathbf{e}_m,\\
    \mathbf{a}_2’=(\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1+(\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2+\cdots+(\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{e}_m)\mathbf{e}_m,\\
    \vdots\\
    \mathbf{a}_m’=(\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1+(\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2+\cdots+(\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{e}_m)\mathbf{e}_m.
    \end{cases}
    $$
    可见,在标架 $ (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_m) $ 下,由 $ \mathbf{a}_1’,\mathbf{a}_2’,\cdots,\mathbf{a}_m’ $ 张成的有向平行体的 $m$ 维有向体积为
    $$
    \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{e}_m\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{e}_m\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{e}_m
    \end{vmatrix}.
    $$
    于是,
    $$
    \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_m\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_m\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_m\\
    \end{vmatrix}=|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|\cdots |\mathbf{b}_m|\begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{e}_m\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{e}_m\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{e}_1&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{e}_2&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{e}_m\\
    \end{vmatrix}
    $$
    等于标架 $ (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_m) $ 下 $ \mathbf{a}_1’,\mathbf{a}_2’,\cdots,\mathbf{a}_m’ $ 张成的有向平行体的 $m$ 维有向体积(可正可负),再乘以同一个标架下 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 张成的有向平行体的 $m$ 维有向体积 $ |\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|\cdots |\mathbf{b}_m| $ (为正).

  • 当 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 并非都是两两正交向量时,可以利用Gram-Schimit 正交化将向量组 $ \{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m\} $ 正交化成为向量组 $ \{\mathbf{b}_1’,\mathbf{b}_2’,\cdots,\mathbf{b}_m’\} $ .设 $ (\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’,\cdots,\mathbf{e}_m’)=(\frac{\mathbf{b}_1’}{|\mathbf{b}_1’|},\frac{\mathbf{b}_2’}{|\mathbf{b}_2’|},\cdots,\frac{\mathbf{b}_m’}{|\mathbf{b}_m’|}) $ .根据行列式的性质(某一列(行)乘以常数加到另外一列(行)上,行列式不变),在标架 $ (\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’,\cdots,\mathbf{e}_m’) $ 下,向量 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 张成的有向平行体的$m$ 维有向体积和向量 $ \mathbf{b}_1’,\mathbf{b}_2’,\cdots,\mathbf{b}_m’ $ 张成的有向平行体的$m$ 维有向体积相等(都为正),且
    $$
    \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_m\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_m\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_m\\
    \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_1’&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{b}_2’&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_m’\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_1’&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{b}_2’&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_m’\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_1’&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{b}_2’&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_m’\\
    \end{vmatrix}.
    $$
    因此此时
    \begin{equation}\label{eq:2}
    \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_1\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{b}_m\\
    \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_2\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{b}_m\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    \mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_1&\mathbf{a}_m\cdot
    \mathbf{b}_2&\cdots&\mathbf{a}_m\cdot \mathbf{b}_m\\
    \end{vmatrix}
    \end{equation}
    等于标架 $ (\mathbf{e}_1’,\mathbf{e}_2’,\cdots,\mathbf{e}_m’) $ 下 $ \mathbf{a}_1’,\mathbf{a}_2’,\cdots,\mathbf{a}_m’ $ 张成的有向平行体的$m$ 维有向体积(可正可负),再乘以同一个标架下 $ \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\cdots,\mathbf{b}_m $ 张成的有向平行体的 $m$ 维有向体积 $ |\mathbf{b}_1’||\mathbf{b}_2’|\cdots |\mathbf{b}_m’| $(为正).

我们规定,当行列式 \eqref{eq:2} 的值为正时,有向平行体 $A$ 和有向平行体 $B$ 的夹角为锐角;当行列式 \eqref{eq:2} 的值为负时,$A$ 和 $B$ 的夹角为钝角;当行列式 \eqref{eq:2} 的值为 $0$ 时,$A$ 和 $B$ 正交.

这样我们就完成了推广.

练习1(来自张禾瑞等编写《高等代数》第5版习题8.1.7):设 $\alpha_1$,$\cdots$,$\alpha_2$,$\alpha_n$ 是欧式空间的 $n$ 个向量.行列式
$$
G(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\begin{vmatrix}
\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_1\cdot
\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{a}_n\\
\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2\cdot
\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{a}_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\mathbf{a}_n\cdot \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_n\cdot
\mathbf{a}_2&\cdots&\mathbf{a}_n\cdot \mathbf{a}_n\\
\end{vmatrix}
$$
叫做 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 的 Gram 行列式.证明 $G(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=0$ 当且仅当 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性相关.